Question

设甲：函数f（x）=log₂（x²+bx+c）的值域为R，乙：函数g（x）=|x²+bx+c|有四个单调区间，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】分析：对于甲，可以令F（x）=x²+bx+c，由题意函数的值域为R，则可得F（x）可以取所有的正数可得，△≥0，解不等式即可求出其满足的条件；再利用绝对值函数得出乙满足的条件．然后结合充要条件的定义即可得到答案．
解答：解：设F（x）=x²+bx+c，
∵函数y=log₂（x²+bx+c）的值域为R，
∴F（x）可以取所有的正数可得，△≥0，可得b²-4c≥0，
又∵乙：函数g（x）=|x²+bx+c|有四个单调区间，
∴F（x）的图象与x轴有两个不同的交点，可得△＞0，
∴b²-4c＞0，
那么甲是乙的必要不充分条件．
故选B．
点评：本题主要考查了由二次函数与对数函数复合的复合函数，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，要判断p是q的什么条件，我们要先判断p⇒q与q⇒p的真假．解题的关键是要熟悉对数函数的性质，解题时容易误认为△＜0，要注意区别与函数的定义域为R的限制条件．