Question

C选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程：

x=2t y=1+4t

（t为参数），曲线C的极坐标方程：ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析：先将直线l的参数方程化成普通方程，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，将极坐标方程为曲线C的极坐标方程：ρ=2

2

sin（θ+

π

4

）化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质求解即得．

解答：解：将直线l的参数方程化为普通方程为：y=2x+1（12分）
将圆C的极坐标方程化为普通方程为：（x-1）²+（y-1）²=2（4分）
从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径r=

2

，
所以，圆心C到直线l的距离d=

|2×1-1+1|

5

=

2 5

5

＜

2

=r（6分）
所以直线l与圆C相交． （7分）
所以直线l被圆C截得的弦长为：2

( 2 )2- 4 5

=

2 30

5

．（10分）

点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．