Question

已知圆C：x²-2ax+y²-10y+a²=0（a＞0）截直线x+y-5=0的弦长为5

2

；
（1）求a的值；
（2）求过点P（10，15）的圆的切线所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）圆方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长为5

2

，即可求a的值；
（2）分类讨论，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点P（10，15）的圆的切线所在的直线方程．

解答：解：（1）圆C：x²-2ax+y²-10y+a²=0（a＞0）可化为（x-a）²+（y-5）²=25
∵圆C：x²-2ax+y²-10y+a²=0（a＞0）截直线x+y-5=0的弦长为5

2

，
∴圆心C（a，5）到直线x+y-5=0的距离为d=

|a|

2

=

52-( 5 2 2 )2

=

5 2

2

，
∴a=5，（x-5）²+（y-5）²=25；
（2）若切线斜率不存在，x=10，符合
若切线斜率存在，设y-15=k（x-10），即kx-y+15-10k=0
∴d=

|5k+10-10k|

k2+1

=5
∴k=

3

4

∴切线：y=

3

4

x+

15

2

或x=10．

点评：本题考查圆的方程，考查圆中弦长的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．