Question

已知点P是圆x²+y²=1上的动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件的点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点N（1，0）且斜率为k₁（k₁≠0）的直线l被曲线C所截得的弦的中点为A，O为坐标原点，直线OA的斜率为k₂，求k₁²+k₂²的最小值．

Answer 1

解：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（0，y₀）．
由，得x=2x₀，y=y₀，即．
因为点P在圆x²+y²=1上，把点P代入圆x²+y²=1 可得 ，故点M的轨迹C的方程为．
（2）由题设知，直线l的方程为y=k₁（x-1），由，
得，其中，△=64k₁⁴-4（4k₁²+1）（4k₁²-4）=16（3k₁²+1）＞0．
设直线l与曲线C的两交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则，所以，．
所以，，当且仅当时取等号，故 的最小值是．
分析：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x，y），由，得x=2x₀，y=y₀，把点P坐标（x₀，y₀）代入圆x²+y²=1 消去x₀，y₀ 可得M的轨迹C的方程．
（2）设出直线l的方程为y=k₁（x-1），代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数，得到，代入要求的式子利用基本不等式求得最小值．
点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，向量坐标形式的运算，一元二次方程根与系数的关系，基本不等式的应用，
得到 是解题的关键．