Question

已知O是坐标原点，点A（1，-1），若点P（x，y）为平面区域

x-2≤0 y-1≤0 x+2y-2≥0

上的一个动点，则

OA

•

OP

的最小值是

-1

．

Answer 1

分析：作出不等式组

x-2≤0 y-1≤0 x+2y-2≥0

表示的平面区域，计算

OA

•

OP

=x-y，将直线l：z=x-y进行平移，可得当l经过点D（0，1）时，x-y有最小值，由此可得

OA

•

OP

的最小值．

解答：解：作出不等式组

x-2≤0 y-1≤0 x+2y-2≥0

表示的平面区域，如图所示：为一个直角三角形BCD内部及边界．
由于 点A（1，-1），若点P（x，y）为平面区域内的一个动点，则

OA

•

OP

=（1，-1）•（x，y）=x-y．
将直线l：z=x-y进行平移，可得当l经过点D（0，1）时，x-y有最小值-1，
故答案为-1．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，以及简单的线性规划问题，属于中档题．