Question

设（-∞，a）是函数f(x)=

1-2x

x-2

(x≠2)的反函数的一个单调递增区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据函数f（x）的解析式求出x关于y的式子，在把x和y互换求出反函数f'（x）的解析式，用分离常数法对它进行变形，求出反函数f'（x）的单调区间，再由题意求出a的取值范围．

解答：解：由题意知，设y=f(x)=

1-2x

x-2

(x≠2)，则x=

2y+1

y+2

，
∴f（x）的反函数f'（x）=

2x+1

x+2

（x≠-2），
又∵f'（x）=

2x+1

x+2

=2-

3

x+2

，
∴反函数f'（x）在区间（-∞，-2），（-2，+∞）上是增函数，
∵（-∞，a）是反函数f'（x）的一个单调递增区间，
∴a≤-2．

点评：本题考查了反函数的性质，即由原函数求它的反函数的解析式，并求出它的定义域，又用了分离常数法化简解析式后，求反函数的单调区间．