Question

（2003•海淀区一模）已知等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}是等比数列又a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₄
（Ⅰ）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n（写成关于n的表达式）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{b_n}的公比为q，由题意可得

1+d=q① 1+3d=q3②

，解出d，q根据等差数列等比数列的通项公式可求得；
（Ⅱ）由（I）求出c_n，利用错位相减法可求得和S_n；

解答：解：（I）设等比数列{b_n}的公比为q，则

1+d=q① 1+3d=q3②

，
把①代入②，得d³+3d²=0，又d≠0，∴d=-3，
并求得q=-2，
∴a_n=-3n+4，bn=(-2)n-1（n∈N^*）；
（II）由（I）知cn=anbn=(-3n+4)•(-2)n-1，
Sn=c1+c2+c3+…+cn=1+(-2)•(-2)+…+(-3n+4)(-2)n-1，
则-2Sn=(-2)+(-2)(-2)2+…+(-3n+7)(-2)n-1+(-3n+4)(-2)n，
两式相减得，3Sn=1+(-3)[(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1]-(-3n+4)(-2)n
=1+(-3)

-2[1-(-2)n-1]

3

-(-3n+4)(-2)n，
∴Sn=(n-1)(-2)n+1．

点评：本题考查等差数列等比数列的通项公式的求解，考查错位相减法对数列求和，考查学生的运算求解能力，属中档题．