Question

当p₁，p₂，…，p_n均为正数时，称为p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”、已知数列{a_n}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为，
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）已知，记数列{b_n}的前n项和为S_n，试求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题得：a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1） ①，
a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1） ②，
两式相减，得a_n=4n-1（n≥2）
又，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．
（Ⅱ）∵，，
∴，即c_n+1＞c_n．
（Ⅲ）∵，
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
当t=1时，S_n=n，；
当t＞0且t≠1时，，．
综上得，
分析：（Ⅰ）先利用条件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），两式作差就可求出数列{a_n}的通项公式（注意检验n=1是否成立）；
（Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函数的单调性就可判断出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出数列{b_n}的通项公式，再对等比数列{b_n}分公比等于1和不等于1两种情况分别求和即可找到的值；
点评：本题在利用新定义的条件下考查数列的通项公式以及求和公式，还有利用函数的单调性判断函数值的符号．是一道综合性很强的好题．