Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P、Q两点，0为坐标原点，问是否存在实数m，使OP⊥OQ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：设出P，Q的坐标，根据OP⊥OQ可推断出

OP

•

OQ

=-1，把P，Q坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直线方程求得y_p•y_Q的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．

解答：解：设点P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
当OP⊥OQ时，K_op•K_OQ=-1?

OP

•

OQ

=-1?x_px_Q+y_py_Q=0（1）
又直线与圆相交于P、Q?

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

的根是P、Q坐标
?是方程5x²+10x+（4m-27）=0的两根
有：x_p+x_Q=-2，x_p•x_Q=

4m-27

5

（2）
又P、Q在直线x+2y-3=0上y_p•y_Q=

1

2

（3-x_p）•（3-x_Q）（3）

1

4

=[9-3（x_p+x_Q）+x_p•x_Q]
由（1）（2）（3）得：m=3
且检验△＞O成立
故存在m=3，使OP⊥OQ

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．本题的最后对求得的结果进行验证是不可或缺的步骤，保证了结果的正确性．