分析:(1)先求函数的定义域,然后求出导函数,讨论a的正负,再结合导函数的符号可得函数f(x)的单调区间;
(2)用分析法进行证明,要证明:
-<在(0,1)上成立,只需证:
ln(1+x)+ln(1+x)-x>0,在(0,1)上恒成立,设
g(x)=ln(1+x)+ln(1+x)-x,然后利用导数研究函数g(x)在(0,1)上单调性,可得结论.
解答:解:(1)由
f(x)=ln(1+x)-a(1-)知定义域:{x|x>-1}
对f(x)求导得:
f′(x)=-=①在a≤0时,有x+1-a>0恒成立.故f(x)>0
故此时f(x)在(-1,+∞)上单调递增
②在a>0时,由f'(x)=0知x=a-1
x |
(-1,a-1) |
a-1 |
(a-1,+∞) |
f'(x) |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↓ |
极小值 |
↑ |
故在a>0时,f(x)在(-1,a-1)上为减函数,在[a-1,+∞)上为增函数.
因此函数在a≤0时,在(-1,+∞)上单调递增;在a>0时,f(x)在(-1,a-1)上为减函数,在[a-1,+∞)上为增函数.…(5分)
(2)要证明:
-<在(0,1)上成立.
只需证:
ln(1+x)+ln(1+x)-x>0,在(0,1)上恒成立
设
g(x)=ln(1+x)+ln(1+x)-x则
g′(x)=(ln(1+x)+x.)+-1=
(ln(1+x)-)由(1)可知a=1,f(x)在x=0时取到最小值
有
ln(1+x)>,在x>0时恒成立.
从而可知g'(x)>0,故g(x)在(0,1)上为增函数∴g(x)>g(0)=0
即:
ln(1+x)+ln(1+x)-x>0恒成立,从而原不等式得证.…(12分)
点评:本题主要考查了函数恒成立问题,以及利用导数研究函数单调性,同时考查了转化能力,属于中档题.