【题目】如图,在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C.
(1)求证:AD1⊥BC;
(2)若直线DD1与直线AB所成角为 ,求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值函数值.
【答案】
(1)证明:连接D1C,则D1C⊥平面ABCD,
∴D1C⊥BC
在等腰梯形ABCD中,连接AC
∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面AD1C
∴AD1⊥BC
(2)解法一:
∵AB∥CD∴
∵CD=1∴
在底面ABCD中作CM⊥AB,连接D1M,则D1M⊥AB,所以∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角
在Rt△D1CM中, ,
∴ ∴
即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦函数值为
解法二:
由(Ⅰ)知AC、BC、D1C两俩垂直,
∵AB∥CD∴ ∴
在等腰梯形ABCD中,连接AC因AB=2,BC=CD=1AB∥CD,
所以 ,建立如图空间直角坐标系,
则 ,B(0,1,0),
设平面ABC1D1的一个法向量
由 得
可得平面ABC1D1的一个法向量 .
又 为平面ABCD的一个法向量.
因此
所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)证明:连接D1C,证明BC⊥平面AD1C,利用直线与平面垂直的性质定理证明AD1⊥BC.(Ⅱ)解法一:连接D1M,则D1M⊥AB,说明∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角,在Rt△D1CM中,求出 ,得到平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦函数值为 .
解法二:
由(Ⅰ)知AC、BC、D1C两俩垂直,建立如图空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面ABC1D1的一个法向量,平面ABCD的法向量.通过向量的数量积求解平面ABC1D1和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题.
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【题目】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,f′(x)是其导函数,若 >x,则下列不等关系成立的是( )
A.f(2)<2f(1)
B.3f(2)>2f(3)
C.ef(e)<f(e2)
D.ef(e2)>f(e3)
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【题目】已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=﹣1的距离相等. (Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程;
(Ⅱ)已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】已知椭圆C:x2+4y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)椭圆C的长轴的两个端点分别为A,B,点P在直线x=1上运动,直线PA,PB分别与椭圆C相交于M,N两个不同的点,求证:直线MN与x轴的交点为定点.
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【题目】下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
C.如果直线a∥平面α,那么a平行于平面α内的无数条直线
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
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【题目】我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约( )
A.164石
B.178石
C.189石
D.196石
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【题目】甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
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【题目】下列四个命题中正确是( )
A.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数 (a>0且a≠1)的值域相同
B.函数y=与y=的值域相同
C.函数 与 都是奇函数
D.函数y=与y=2x﹣1在区间[0,+∞)上都是增函数.
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