Question

【题目】设函数，，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若（其中），证明：；

（3）是否存在实数a，使得在区间内恒成立，且关于x的方程在内有唯一解？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在满足题意，理由详见解析．

【解析】

（1）求出的导数，分为和两种情形讨论与0的关系得出单调性；

（2）求出，根据单调性得出，结合单调性可得，只需证即可，由分析法可得只需证令，即可，利用导数判断单调性得最值即得结论；

（3）根据恒成立先得，然后证明，主要通过对进行二次求导，通过导数与单调性的关系得最值即可得结果.

（1）由已知得：

当时，，在上递增；

当时，令得

当时，，递增；

当时，，递减；

综上：当时， 的递增区间为；

当时，的递增区间为，

的递减区间为．

（2）∵

∴在递增，递减，且

又∵当时，；当时，

∵，∴，∴

要证：成立，只需证：

∵在递增，故只需证：

即证：

令，只需证：，即证：

令，

∵，∴．证毕

（3）令

∵，且需在区间内恒成立

∴，可得

事实上，当时，，下证：

令，则，所以在递减，递增

∴，即，∴

∴在递减，递增，

∴在区间内恒成立

∴当时，在区间内恒成立，且在内有唯一解，证毕.