【题目】如图所示的多面体中,四边形ABCD为菱形,,,面ABCD,,,异面直线AF,CD所成角的余弦值为.
Ⅰ求证:面面EDB;
Ⅱ求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
Ⅰ推导出,从而,进而面EBD,由此能证明面面EDB;Ⅱ推导出四边形EFOD是平行四边形,从而,由面ABCD,得面ABCD,以O为原点,OA,OB,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
Ⅰ四边形ABCD是菱形,,
面ABCD,面ABCD,,
,面EBD,
面ACF,面面EDB.
Ⅱ四边形ABCD是菱形,,,
,,
,,,,
四边形EFOD是平行四边形,,
面ABCD,面ABCD,
以O为原点,OA,OB,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,0,,设0,,
则,,
,,
解得,则0,,1,,
1,,,,,
设平面AFB的法向量y,,
则,取,得,
设平面AFE的法向量y,,
则,取,得0,,
设二面角的平面角为,由图形得为钝角,
则.
二面角的余弦值为.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的普通方程为,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线、的参数方程;
(Ⅱ)若点、分别在曲线、上,求的最小值.
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【题目】在中,D,E分别为AB,AC的中点,,以DE为折痕将折起,使点A到达点P的位置,如图.
(1)证明:;
(2)若平面DEP平面BCED,求直线DC与平面BCP所成角的正弦值。
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【题目】某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照,,,分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的平均数和中位数;
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为,若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.
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【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程;
(Ⅱ)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.(参考数据:,计算结果保留小数点后两位)
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