Question

解答题

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c和一次函数g(x)＝－bx，其中a、b、c满足a＞b＞c，a＋b＋c＝0(a、b、c∈R)．

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；

(2)求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由y＝－bx与y＝ax2＋bx＋c，消去y得 　　ax2＋2bx＋c＝0．　　　　　　　　(*) 　　∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0． 　　又Δ＝b2－4ac＞0，故两函数图象交于不同的两点． 　　(2)解：设方程(*)的两根为x1和x2，则 　　x1＋x2＝－，x1x2＝． 　　∴|A1B1|2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－ 　　＝－＝4[(＋)2＋]． 　　∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0， 　　∴a＞－a－c＞c，解得∈(－2，－)． 　　又f()＝4[(＋)2＋]的对称轴＝－，故∈(－2，－)时，f()为减函数． 　　∴|A1B1|2∈(3，12)，故|A1B1|∈(，2)．