Question

【题目】设函数，若存在（其中）

（1）求实数的取值范围，

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1）先利用导数的符号讨论函数的单调性，根据题设条件可得函数的最大值为正，再分和两种情况讨论，前者无两个不同的零点，后者可利用零点存在定理证明函数有两个零点.

（2）根据（1）可把要证明的不等式转化为证明，根据函数的单调性及可把前者转为， 构建新函数可证明该不等式.

解：（1）令，则

时，时；当，，

在递增，递减，且，

由题设，有两个不同的零点，故即.

若，则当时，，故在无零点；

而在递增，故在上至多有一个零点，故不符合；

若，则，，

考虑，因为，故，

为上的增函数，故即，

因在递增，递减，且，结合零点存在定理可知有两个不同的零点，故.

（2）由（1）知：，

要证：成立，只需证：，

在递增，故只需证：

即证.

只需证：，即证：.

令，

在上单调递减,.证毕