分析 (Ⅰ)通过讨论a的符号,得到函数f(x)是一次函数还是二次函数,再根据二次函数的性质得到不等式组,从而求出a的范围;
(Ⅱ)根据函数的奇偶性,只需讨论x>0时的情况即可,通过讨论a的范围,结合二次函数的性质得到表达式,从而求出a的范围.
解答 解:(Ⅰ)若a=0,f(x)=-x+1,在[1,2]上单调递减,不合题意,
若a≠0,函数f(x)是二次函数,对称轴x=$\frac{a+1}{2a}$,
根据题意得:1<$\frac{a+1}{2a}$<2⇒$\frac{1}{3}$<a<1,
(Ⅱ)m≥0时,t=m2+2m+2≥2,
因为y=f(|x|)为偶函数,且f(0)=1,所以只须考虑x>0时,
函数y=f(x)的图象与直线y=t有两个不同交点即可.
(1)当a>0时,x=$\frac{a+1}{2a}$>0,y=t与y=f(x)(x>0)的图象只有一个交点,舍去;
(2)当a<0且x=$\frac{a+1}{2a}$≤0,即:-1≤a<0时,f(x)<1(x>0),
y=t与y=f(x)(x>0)的图象无交点,舍去;
(3)当a<0且x=$\frac{a+1}{2a}$>0,即:a<-1时,只须y=f(x)(x>0)的最大值
1-$\frac{{(a+1)}^{2}}{4a}$>2⇒a<-3-2$\sqrt{2}$或a>-3+2$\sqrt{2}$(舍去)
综上,a<-3-2$\sqrt{2}$.
点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题,考查导数的应用,函数根的存在性问题,考查分类讨论思想,是一道中档题.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
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A. | 与x轴相切的抛物线 | B. | 与x轴相交的抛物线 | ||
C. | 一条水平直线 | D. | 一条不是水平的直线 |
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