Question

6．已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）若存在m≥0使关于x的方程f（|x|）=m²+2m+2有四个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论a的符号，得到函数f（x）是一次函数还是二次函数，再根据二次函数的性质得到不等式组，从而求出a的范围；
（Ⅱ）根据函数的奇偶性，只需讨论x＞0时的情况即可，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到表达式，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=-x+1，在[1，2]上单调递减，不合题意，
若a≠0，函数f（x）是二次函数，对称轴x=$\frac{a+1}{2a}$，
根据题意得：1＜$\frac{a+1}{2a}$＜2⇒$\frac{1}{3}$＜a＜1，
（Ⅱ）m≥0时，t=m²+2m+2≥2，
因为y=f（|x|）为偶函数，且f（0）=1，所以只须考虑x＞0时，
函数y=f（x）的图象与直线y=t有两个不同交点即可．
（1）当a＞0时，x=$\frac{a+1}{2a}$＞0，y=t与y=f（x）（x＞0）的图象只有一个交点，舍去；
（2）当a＜0且x=$\frac{a+1}{2a}$≤0，即：-1≤a＜0时，f（x）＜1（x＞0），
y=t与y=f（x）（x＞0）的图象无交点，舍去；
（3）当a＜0且x=$\frac{a+1}{2a}$＞0，即：a＜-1时，只须y=f（x）（x＞0）的最大值
1-$\frac{{（a+1）}^{2}}{4a}$＞2⇒a＜-3-2$\sqrt{2}$或a＞-3+2$\sqrt{2}$（舍去）
综上，a＜-3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，函数根的存在性问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．