Question

已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
（Ⅱ）线段CA的延长线交顶点C的轨迹W于点D，当|CB|=

3

2

且点C在x轴上方时，求线段CD垂直平分线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，可得|CB|+|CA|=2•|AB|=4，故C点轨迹为以A，B两点为焦点的椭圆，故可用定义法求轨迹方程．
（Ⅱ）由|CB|=

3

2

可求出C点的坐标，从而可写出直线CA的方程，与椭圆方程联立，求出D点坐标，用中点坐标公式求出CD重点坐标，再求l方程即可．

解答：解：（Ⅰ）因为|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2•|AB|=4，且4＞|AB|，
由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的
椭圆（去掉长轴的端点），
所以a=2，c=1，b=

3

．
故顶点C的轨迹W方程为

x2

4

+

y2

3

=1 (y≠0)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得|CA|=4-|CB|=

5

2

．因为|AB|=2，|CB|=

3

2

，
所以|CA|²=|AB|²+|CB|²．则CB⊥AB．
所以直线CD的斜率为

|CB|

|AB|

=

3

4

．
于是直线CD方程为y=

3

4

(x+1)．
由

y= 3 4 (x+1) x2 4 + y2 3 =1

得7x²+6x-13=0．设C，D两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则x1+x2=-

6

7

，y1+y2=

3

4

(x1+x2+2)=

6

7

．
线段CD中点E的坐标为(-

3

7

，

3

7

)，
故CD垂直平分线l的方程为y-

3

7

=-

4

3

(x+

3

7

)，即为28x+21y+3=0．

点评：本题考查定义法求轨迹方程、直线和椭圆相交问题，难度适中，很好的考查了基本运算能力．