Question

已知函数f(x)=log2

1-mx

x-1

(m≠1)是奇函数．
（1）求实数m的值．
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=log2

1-mx

x-1

(m≠1)是奇函数，知f（x）+f（-x）=0，由此能求出m．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．在（1，+∞）任取x₁，x₂，设1＜x₁＜x₂，利用单调函数的定义进行证明．

解答：解：（1）∵f(x)=log2

1-mx

x-1

(m≠1)是奇函数，
∴f（x）关于原点对称，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴log2

1-mx

x-1

+log2

1+mx

-x-1

=log2(

1-mx

x-1

•

1+mx

-x-1

)=0，
∴

1-mx

x-1

•

1+mx

-x-1

=1，
解得m=-1或m=1（舍）
∴m=-1．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．
证明：在（1，+∞）任取x₁，x₂，设1＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）
=log2

1+x2

x2-1

-log2

1+x1

x1-1

=log2

(1+x2)(x1-1)

(x2-1)(1+x1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴（1+x₂）（x₁-1）＞0，（x₂-1）（1+x₁）＞0
（1+x₂）（x₁-1）-（x₂-1）（1+x₁）
=（x₁+x₁x₂-1-x₂）-（x₂-1+x₁x₂-x₁）
=2x₁-2x₂＜0，
∴0＜

(1+x2)(x1-1)

(x2-1)(1+x1)

＜1，
∴log2

(1+x2)(x1-1)

(x2-1)(1+x1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性的证明，解题时要注意对数性质的合理运用．