Question

如图：A、B是两个定点，且|AB|＝2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且B点到直线k的距离为3．

(Ⅰ)建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)求证：点P到点B的距离与点P到直线k的距离之比为定值；

(Ⅲ)(理)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)．　　∵l为MB的垂直平分线， 　　∴|PM|＝|PB|，|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4． 　　∴P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程是：＋＝1． 　　(Ⅱ)证明：∵椭圆的右准线方程是x＝4恰为直线k的方程．根据椭圆的定义知点P到点B的距离与点P到直线k的距离之比为离心率e＝ 　　(Ⅲ)解：m＝|PA|·|PB|≤＝4，当且仅当|PA|＝|PB|时，m最大，这时点P在y轴上，故点P的坐标是：(0，)或(0，－)．