Question

5．已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，则$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=27．

Answer 1

分析 由题意可得公比q的方程，解得方程可得q，可得$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=q³，代值计算可得．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，
可得a₃=3a₁+2a₂，
∴a₁q²=3a₁+2a₁q，即q²=3+2q
解得q=3，或q=-1（舍去），
∴$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=$\frac{（{a}_{8}+{a}_{10}）{q}^{3}}{{a}_{8}+{a}_{10}}$=q³=27，
故答案为：27．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质，考查运算求解能力，属于基础题．