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已知y=f(x)为R上可导函数,当x≠0时,f′(x)+
f(x)x
>0
则关于x的函数g(x)=xf(x)+1的零点个数为(  )
分析:由g(x)=xf(x)+1=0得xf(x)=-1,然后利用导数研究函数xf(x)的单调性和极值,即可得到结论.
解答:解:由g(x)=xf(x)+1=0得xf(x)=-1,
设g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x).
∵当x≠0时,f′(x)+
f(x)
x
>0

∴当x≠0时,
xf′(x)+f(x)
x
>0

即当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,即g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增,
当x<0时,xf'(x)+f(x)<0,即g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,
∴当x=0时,函数g(x)取得 极小值,同时也是最小值g(0)=0,
∴g(x)≥0,
∴g(x)=-1无解,
即函数g(x)=xf(x)+1的零点个数为0个.
故选C.
点评:本题主要考查函数零点个数的判断,利用条件构造函数,利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键,综合性较强,涉及的知识点较多.
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x
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1
x
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x
=0
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-
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