等差数列{an}的首项和公差都是23.记{an}前n项和为Sn．等比数列{bn}各项均为正数.公比为q.记{bn}的前n项和为Tn．(Ⅰ) 写出Si构成的集合A,(Ⅱ) 若q为正整数.问是否存在大于1的正整数k.使得Tk.T2k同时为集合A中的元素?若存在.写出所有符合条件的{bn}的通项公式,若不存在.请说明理由,(Ⅲ) 若将Sn中的整数项按从小到大的顺序� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

等差数列{a_n}的首项和公差都是

，记{a_n}前n项和为S_n．等比数列{b_n}各项均为正数，公比为q，记{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）写出S_i（i=1，2，3，4，5）构成的集合A；
（Ⅱ）若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得T_k，T_2k同时为集合A中的元素？若存在，写出所有符合条件的{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若将S_n中的整数项按从小到大的顺序构成数列{c_n}，求{c_n}的一个通项公式．

分析：（Ⅰ）直接代入等差数列的求和公式得到S_n．再把n=1，2，3，4，5分别代入即可求出集合A；
（Ⅱ）由于{b_n}的前n项和为T_n．故应分类讨论，然后利用T_k，T_2k同时为集合A中的元素进行求解；
（Ⅲ）∵Sn=na1+

n(n-1)

×[n+

n(n-1)

n(n+1)

．S_n中的整数项按从小到大的顺序构成数列{c_n}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），故可求．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn=na1+

n(n-1)

×[n+

n(n-1)

n(n+1)

．
把n=1，2，3，4，5分别代入．
∴A={

，2，4，

，10}．
（Ⅱ）当q=1时，T_k=kb₁，T_2k=2kb₁；
所以T_2k=2T_k；
∵T_k，T_2k同时为集合A中的元素，
∴T_k=2，T_2k=4⇒kb₁=2，
∴b₁=

，
∴b_n=

；
当q≠1时，T_k=

b1(1-qk)

1-q

，T_2k=

b1(1-q2k)

1-q

；

T2k

=1+q^k，∵q为正整数，正整数k大于1．
∴当T_k=

时，T_2k=

，得到q^k=9⇒q=3，k=2⇒T_k=T₂=b₁（1+q）=b₁×4=

⇒b₁=

，故bn=

×3n-1=

×3^n-2；
当T_k=2时，T_2k=10，得到q^k=4⇒q=2，k=2⇒T_k=T₂=b₁（1+q）=b₁×3=2⇒b₁=

，b_n=

×2^n-1=

×2ⁿ；
当T_k=4，Tk=

，T_k=10时，找不到满足条件的{b_n}．
（Ⅲ）Sn=na1+

n(n-1)

×[n+

n(n-1)

n(n+1)

．
∵S_n中的整数项按从小到大的顺序构成数列{c_n}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），
故可求c_n=n（3n+1），或c_n=n（3n-1）．

点评：本题的考点是等差数列与等比数列的综合，考查等差数列、等比数列的求和公式，关键是理解题意，合理转化．

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