Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn= （an﹣1），数列{bn}满足bn+2=2bn+1﹣bn ， 且b6=a3 ， b60=a5 ， 其中n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=（﹣1）nbnbn+1 ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵Sn= （an﹣1），∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= （an﹣1）﹣ ，化为：an=3an﹣1 ． n=1时，a1= ，解得a1=3．
∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为3．
∴an=3n ．
b6=a3=33=27，b60=a5=35 ．
数列{bn}满足bn+2=2bn+1﹣bn ， 即bn+2+bn=2bn+1 ，
∴数列{bn}是等差数列，设公差为d，则b1+5d=27，b1+59d=243．
联立解得b1=7，d=4．
∴bn=7+4（n﹣1）=4n+3．
（II）cn=（﹣1）nbnbn+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．
c2k﹣1+c2k=﹣（8k﹣1）（8k+3）+（8k+3）（8k+7）=48k+18．
∴n=2k（k∈N*）时，数列{cn}的前n项和Tn=T2k=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c2k﹣1+c2k）
=48×（1+2…+k）+18k= +18k=24k2+42k=6n2+21n．
n=2k﹣1时，T2k﹣1=T2k﹣2+c2k﹣1=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（8k﹣1）（8k+3）=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（4n+3）（4n+7）=﹣10n2﹣31n﹣36．
∴Tn= ．
【解析】（I）Sn= （an﹣1），可得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化为：an=3an﹣1 ． n=1时，a1= ，解得a1 ． 利用等比数列的通项公式可得an ． b6=a3=33=27，b60=a5=35 ． 数列{bn}满足bn+2=2bn+1﹣bn ， 即bn+2+bn=2bn+1 ， 利用等差数列通项公式即可得出．（II）cn=（﹣1）nbnbn+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．计算c2k﹣1+c2k ， 对n分类讨论即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．