【题目】(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F分别为AB、BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上变动(如图所示).若
=λ
+μ
,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是______________.
【答案】[-1,1]
【解析】建立如图所示的直角坐标系,设∠PAE=α,则
A(0,0),E(1,0),D(0,1),F(1.5,0.5),P(cosα,sin α)(0°≤α≤90°).
∵=λ
+μ
,
∴(cosα,sin α)=λ(-1,1)+μ(1.5,0.5),
∴cosα=-λ+1.5μ,sin α=λ+0.5μ,
∴λ= (3sin α-cosα),μ=
(cosα+sin α),
∴2λ-μ=sin α-cosα=sin(α-45°).
∵0°≤α≤90°,∴-45°≤α-45°≤45°,
∴-≤sin(α-45°)≤
,
∴-1≤sin(α-45°)≤1.
∴2λ-μ的取值范围是[-1,1].
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【题目】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还升,
升,
升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A. ,
,
依次成公比为2的等比数列,且
B. ,
,
依次成公比为2的等比数列,且
C. ,
,
依次成公比为
的等比数列,且
D. ,
,
依次成公比为
的等比数列,且
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【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,
,
分别是它的左、右焦点,且存在直线
,使
,
关于
的对称点恰好是圆
:
(
,
)的一条直径的两个端点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与抛物线
相交于
、
两点,射线
、
与椭圆
分别相交于
、
.试探究:是否存在数集
,当且仅当
时,总存在
,使点
在以线段
为直径的圆内?若存在,求出数集
;若不存在,请说明理由.
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【题目】(2016·怀仁期中)已知命题:x∈[-1,2],函数f(x)=x2-x的值大于0.若
∨
是真命题,则命题
可以是( )
A. x∈(-1,1),使得cos x<
B. “-3<m<0”是“函数f(x)=x+log2x+m在区间上有零点”的必要不充分条件
C. 直线x=是曲线f(x)=
的一条对称轴
D. 若x∈(0,2),则在曲线f(x)=ex(x-2)上任意一点处的切线的斜率不小于-1
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【题目】已知抛物线的标准方程为
,
为抛物线
上一动点,
(
)为其对称轴上一点,直线
与抛物线
的另一个交点为
.当
为抛物线
的焦点且直线
与其对称轴垂直时,
的面积为18.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)记,若
值与
点位置无关,则称此时的点
为“稳定点”,试求出所有“稳定点”,若没有,请说明理由.
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