Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为1的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明SO⊥平面ABC，只需证明SO垂直平面ABC内的两条相交直线BC、AO即可．
（Ⅱ）要证明SA⊥BC，只需证明BC垂直SA所在平面SAD即可；
（Ⅲ）求三棱锥S-ABC的体积，求出底面面积和高即可求其体积．

解答：解：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，SO⊥BC，且SO=

2

2

SA，从而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO⊥BC，AO⊥BC，SO∩AO=O得，BC⊥平面SAO；
而SA?平面SAO，所以SA⊥BC．（10分）
（Ⅲ）易知SO=

3

2

，VS-ABC=

1

3

×

1

2

×12×

3

2

=

3

12

．（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与直线的垂直，三棱锥的体积，是中档题．