Question

（2010•广东模拟）定义一种运算△：n△m=n•a^m（m，n∈N，a≠0）
（1）若数列{a_n}（n∈N^*）满足a_n=n△m，当m=2时，求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设数列{c_n}（n∈N^*）的通项满足c_n=n△（n-1），试求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先求出通项公式，再写出第n+1项，证明第n+1项与第n项的差是个常数．
（2）写出c_n的表达式，当a=1时，数列{c_n}是个等差数列易求出它的前n项和，
当a≠1时，用错位相减法求出它的前n项和．

解答：（1）证明：由题意知当m=2时，a_n=n△m=a²•n，
则有a_n+1=a²•（n+1）   （2分）
故有a_n+1-a_n=a²，（n∈N^*），其中a₁=1△2=a²，（3分）
所以数列{a_n}是以a₁=a²为首项，公差d=a²的等差数列．（4分）

（2）依题意有，c_n=n△（n-1）=n•a^n-1，（n∈N^*），（5分）
所以，当a=1时，Sn=c1+c2++cn=1+2+3++n=

n(n+1)

2

；（7分）
当a≠1时，S_n=1•a⁰+2•a¹++（n-1）•a^n-2+n•a^n-1，（1）
所以aS_n=1•a¹+2•a²++（n-1）•a^n-1+n•aⁿ（2）（8分）
由（2）-（1）得：（1-a）S_n=1•a⁰+1•a¹++1•a^n-2+1•a^n-1-naⁿ（9分）
得：Sn=

1-an

(1-a)2

-

nan(1-a)

(1-a)2

=

nan+1-nan-an+1

(1-a)2

，（n∈N^*）（11分）
综上所述，Sn=

nan+1-nan-an+1 (1-a)2 ，a≠1 n(n+1) 2 ，a=1

（14分）

点评：本题考查等差数列的通项公式及求和公式，以及用错位相减法对数列进行求和，体现分类讨论的数学思想．