Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，
EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC；
（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E为PD的中点．AE=1，
∴DM= ，
CD= = ．
三棱锥E﹣ACD的体积为： = = ．

【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．