Question

已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于30°，SA=2．那么三棱锥 S-ABC 的体积为________．

Answer 1

分析：作BH⊥SC于E，设S在面ABC内射影为O，则O为△ABC的垂心，且为△ABC的中心，可证∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，进而利用体积公式，可得结论．
解答：解：由题设，AH⊥面SBC，作BH⊥SC于E．
由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB，所以SC⊥面ABE．
设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．
由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．
同理，BO⊥AC，故O为△ABC的垂心．
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=．
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．
所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，
∴OC=SCcos60°==，
∴SO=tan60°==3．
又OC=AB，故AB=OC==3．
所以，V_S-ABC==．
点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查三垂线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．