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已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,二面角 H-AB-C 的平面角等于30°,SA=2.那么三棱锥 S-ABC 的体积为________.


分析:作BH⊥SC于E,设S在面ABC内射影为O,则O为△ABC的垂心,且为△ABC的中心,可证∠EFC是二面角H-AB-C的平面角,进而利用体积公式,可得结论.
解答:解:由题设,AH⊥面SBC,作BH⊥SC于E.
由三垂线定理可知SC⊥AE,SC⊥AB,所以SC⊥面ABE.
设S在面ABC内射影为O,则SO⊥面ABC.
由三垂线定理之逆定理,可知CO⊥AB于F.
同理,BO⊥AC,故O为△ABC的垂心.
又因为△ABC是等边三角形,故O为△ABC的中心,从而SA=SB=SC=
因为CF⊥AB,CF是EF在面ABC上的射影,由三垂线定理,EF⊥AB.
所以,∠EFC是二面角H-AB-C的平面角,故∠EFC=30°,
∴OC=SCcos60°==
∴SO=tan60°==3.
又OC=AB,故AB=OC==3.
所以,VS-ABC==
点评:本题考查三棱锥体积的计算,考查三垂线定理,考查学生的计算能力,属于中档题.
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