Question

【题目】因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50（即）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜，根据经验：一般顾客的眼睛到地面的距离为（）在区间内，设支架高为（），，顾客可视的镜像范围为（如图所示），记的长度为（）.

（I）当时，试求关于的函数关系式和的最大值；

（II）当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）.

【解析】

（I）根据三角形的相似，求出，的长，从而可构建函数，求导数，确定函数的单调性，即可求得结论；（II）根据三角形的相似，求出，，由题意知，即对恒成立，从而对恒成立，由此可求得的取值范围.

（I）因为，，所以由，即，解得，同理，由，即，解得，所以，因为，所以在上单调递减，故当时，取得最大值为

（II）由，得，由，得，所以由题意知，即对恒成立，从而对恒成立，解得，故的取值范围是