Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC₁＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点.

（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求三棱锥D－B₁C₁C的体积.

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析；（2）三棱锥D－B₁C₁C的体积为.

解析试题分析：（1）连接BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC₁；由线面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面CDB₁；（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，可以证明DF是三棱锥D－CC₁B₁的高，再由锥体体积公式即可求解.
试题解析：
（1）证明：连接BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连接DE.

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点
∴DE∥AC₁.
又∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁.                     4分
（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，
∵C₁C⊥平面，平面，
∴.
∴平面.
∴是三棱锥的高，
∵
∴ ，.
∴三棱锥的体积为.                     8分
考点：线面平行的判定定理、空间几何体的体积.