Question

9．已知函数f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x，求f（x）的最小正周期及在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值．

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦公式变形，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，由x的范围和正弦函数的图象与性质，求出f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值．

解答 解：由题意得，f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x-$\sqrt{3}$（1-cos2x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$，
由T=$\frac{2π}{2}=π$得，f（x）的最小正周期是π，
由$x∈[0，\frac{2π}{3}]$得，$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，π]$，
则$sin（2x+\frac{π}{3}）∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
即$2sin（2x-\frac{π}{3}）-\sqrt{3}∈[0，2-\sqrt{3}]$，
所以f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值是0．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式，以及三角函数的周期公式，考查化简、变形能力．