Question

已知a＞0，命题p：?x＞，x+

a

x

≥2 恒成立；命题q：“直线x+y-a=0与圆（x-1）²+y²=1有公共点”，若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用均值不等式和直线与圆有公共点的条件求得命题p、q为真命题时a的范围，根据复合命题真值表判断：命题p∧q为真命题，则p、q都为真命题，由此求交集可得答案．

解答：解：当命题p为真命题时：对?x＞0，∵x+

a

x

≥2

a

，（a＞0），
∴要使x+

a

x

≥2恒成立，应有2

a

≥2，∴a≥1；
当命题q为真命题时     由

x+y-a=0 (x-1)2+y2=1

  则2x²-2（a+1）x+a²=0
∴△=4（a+1）²-8a²≥0⇒1-

2

≤a≤1+

2

．
∵命题p∧q为真命题，则p、q都为真命题，
综上a的取值范围是[1，1+

2

]．

点评：本题借助考查复合命题的真假判断，考查了直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，关键是求命题p为真时，a的取值范围，同时要熟练掌握复合命题真值表．