Question

已知函数y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，求
（1）函数的最小正周期是多少？
（2）函数的单调增区间是什么？
（3）函数的图象可由函数y=

2

sin2x(x∈R)的图象如何变换而得到？

Answer 1

分析：（1）直接由y=Asin（ωx+Φ）（ω＞0）型函数的周期公式求函数y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的周期；
（2）给出的函数是复合函数，内层一次函数是增函数，要求该复合函数的增区间，直接由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z解出x的取值范围即可；
（3）把给出的函数变形为y=

2

sin(2x+

π

4

)+2=

2

sin2(x+

π

8

)+2，根据自变量x的变化和函数值的变化即可得到正确结论．

解答：解：（1）由函数y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，所以，其最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
所以，函数y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．
（3）由y=

2

sin(2x+

π

4

)+2=

2

sin2(x+

π

8

)+2可知，把函数y=

2

sin2x(x∈R)的图象先向左平移

π

8

个单位，再向上平移2个单位得到函数y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的图象．

点评：本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，注意掌握“同增异减”的原则，考查了三角函数的图象变换问题，该类问题极易出错，正确解答的关键是看变量x的变化．此题是中档题．