Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）（理）求二面角N-CM-B的正切值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

分析：法一：
（1）取AC中点D，连接SD、DB．由SA=SC，AB=BC，知SD⊥AC，BD⊥AC，由此能够证明AC⊥SB．
（2）由AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，知平面SDB⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM，∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．由此能求出二面角N-CM-B的正切值．
（3）在Rt△NEF中，由NF=

EF2+EN2

=

3

2

，知S△CMN=

1

2

CM•NF=

3 3

2

，S△CMB=

1

2

BM•CM=2

3

．由V_B-CMN=V_N-CMB，能求出点B到平面CMN的距离．
法二：
（1）取AC中点O，连接OS、OB．由SA=SC，AB=BC，知AC⊥SO，AC⊥BO．所以SO⊥平面ABC，SO⊥BO．以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则

AC

=(-4，0，0)，

SB

=(0，2

3

，2

2

)，由此能证明AC⊥SB．
（2）由

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)，设

n

=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，由

CM • n =3x+ 3 y=0 MN • n =-x+ 2 z=0

，得

n

=(

2

，-

6

，1)．由向量法能求出二面角N-CM-B的正切值．
（3）由

MB

=(-1，

3

，0)，

n

=(

2

，-

6

，1)为平面CMN的一个法向量，能求出点B到平面CMN的距离．

解答：解法1：（1）取AC中点D，连接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC∴SD⊥AC，BD⊥AC，
∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．…（4分）
（2）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，
则NF⊥CM，∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC．
又NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，
∴NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

1

2

12-4

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

∴二面角N-CM-B的正切值为2

2

．…（8分）
（3）在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

=

3

2

，
∴S△CMN=

1

2

CM•NF=

3 3

2

，
S△CMB=

1

2

BM•CM=2

3

．
设点B到平面CMN的距离为h，
∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
∴

1

3

S△CMN•h=

1

3

S△CMB•NE，
∴h=

S△CMB•NE

S△CMN

=

4 2

3

．
即点B到平面CMN的距离为

4 2

3

．…（14分）
解法2：（1）取AC中点O，连接OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，
平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，
∴

AC

=(-4，0，0)，

SB

=(0，2

3

，2

2

)，
∵

AC

•

SB

=(-4，0，0)•(0，2

3

，2

2

)=0，
∴AC⊥SB．…（6分）
（2）∵M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)，
又C（-2，0，0），∴

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
设

n

=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则

CM • n =3x+ 3 y=0 MN • n =-x+ 2 z=0

，
取z=1，x=

2

，y=-

6

，
∴

n

=(

2

，-

6

，1)．
又

OS

=(0，0，2

2

)为平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，
得sin＜

n

，

OS

＞=

2 2

3

∴tan＜

n

，

OS

＞=

2 2 3

1 3

=2

2

．
即二面角N-CM-B的正切值为2

2

．…（10分）
（3）由（1）（2）得

MB

=(-1，

3

，0)，
又

n

=(

2

，-

6

，1)为平面CMN的一个法向量，|

n

|=3，
∴点B到平面CMN的距离d=

| n • MB |

| n |

=

|- 2 -3 2 |

3

=

4 2

3

．…（14分）

点评：本题考查异面直线的证明，二面角正切值的求法和点到平面距离的计算，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．