Question

（21分）．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

 

 

（1）证明 PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：连结AC，AC交BD于O．连结EO．

 

 

∵ 底面ABCD是正方形，∴ 点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴ PA//EO．而平面EDB，且平面EDB，所以，PA//平面EDB．

（2）证明：∵ PD⊥底面ABCD，且底面ABCD， ∴ PD⊥DC.

∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC, ∴ BC⊥平面PDC．  而平面PDC，∴ BC⊥DE.又∵PD=DC，E是PC的中点，∴ DE⊥PC.  ∴  DE⊥平面PBC．

而平面PBC，∴ DE⊥PB．又EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：由（2）)知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a，则

在中，．在中，.所以，二面角C-PB-D的大小为60°.

【解析】略