Question

（2007•杨浦区二模）（理）设虚数z满足z+

4

z

=a（其中a为实数）．
（1）求|z|；
（2）若|z-2|=2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可先令虚数z=x+yi（x，y∈R且y≠0），代入z+

4

z

=a，整理后令虚部为0，解出x²+y²=4（y≠0），即可求得此虚数的模；
（2）由|z-2|=2可得（x-2）²+y²=4，与（1）的结论方程x²+y²=4（y≠0）联立，解此方程组，即可得到复数z，代入z+

4

z

=a即可解出a的值

解答：解：设z=x+yi（x，y∈R且y≠0）（2分）
则z+

4

z

=x+yi+

4x-4yi

x2+y2

=a∈R
∴y-

4y

x2+y2

=0（4分）
∴x²+y²=4（y≠0），即|z|=2； （6分）
又|z-2|=2得　（x-2）²+y²=4，与x²+y²=4（y≠0）联立
解得x=1，y=

3

或x=1，y=-

3

∴z1=1+

3i

，z2=1-

3i

（10分）
∴a=z+

4

z

=2  （12分）

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数的乘法，求复数的模，复数求模公式，解题的关键是用待定系数法设出复数的代数形式，以及理解虚数z满足z+

4

z

=a（其中a为实数），得出虚部为0，从而得到复数的实部与虚部所满足的方程．本题考查了待定系数法，其特征是所研究的对象性质已知，可根据其性质设出它的解析式．