Question

18．已知函数$f（x）=a-\frac{4}{{{2^x}+1}}（{a∈R}）$是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．
（1）求a的值，并写出函数f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0进行求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义进行证明．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
∴f（0）═0，即f（0）=a-$\frac{4}{{2}^{0}+1}$=a-$\frac{4}{2}$=0，得a=2．
（2）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{4（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴y=2^x是增函数，
则${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
则f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．