Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6为正方形，PA=PD，
PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD与AC相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD中点．
∵E为棱PD的中点，∴PB∥EO．
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC．
（Ⅱ）证明：PA⊥平面PDC，∴PA⊥CD．
∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅲ）取AD中点F，连接PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，
又∵PA⊥平面PDC，∴PA⊥PD，∴△PAD为等腰直角三角形．
∵AD=6，∴PF=3．
∴VP-ABCD=

1

3

AB•AD•PF=

1

3

×6×6×3=36．