【题目】已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.直线与轴交于点P,与椭圆E相交于A,B两个点.
(I)求椭圆E的方程;
(II)若,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)(1,4).
【解析】试题分析:
(1)由题意求得a=2,b=1.∴椭圆E的方程为 +x2=1.
(2)联立直线与椭圆的方程,结合判别式为正数得到关于m的不等式,求解不等式可得的取值范围是(1,4).
试题解析:
(I)根据已知设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,
由已知得=,∴c=a,b2=a2-c2=.
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4,
∴4=2a=4,∴a=2,b=1.∴椭圆E的方程为+x2=1.
(II)根据已知得P(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.
由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,且x1+x2=,x1x2=.
由得x1=-3x2.
∴3(x1+x2)2+4x1x2=12x-12x=0.
∴+=0,即m2k2+m2-k2-4=0.
当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,∴k2=.
∵k2-m2+4>0,∴-m2+4>0,即>0.∴1<m2<4.
∴m2的取值范围为(1,4).
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【题目】如图,在正四棱锥中,O为顶点S在底面ABCD内的投影,P为侧棱SD的中点,且.
(1)证明:平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
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【题目】如图所示,有三根针和套在一根针上的个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为,则__________.
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【题目】从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】在空间四边形ABCD中,H,G分别是AD,CD的中点,E,F分别边AB,BC上的点,且;
求证:(1)点E,F,G,H四点共面;
(2)直线EH,BD,FG相交于同一点.
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【题目】某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,计算两个班学分的方差.得______,并由此可判断成绩更稳定的班级是______班.
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【题目】如图,已知椭圆,是长轴的一个端点,弦过椭圆的中心,且.
(1)求椭圆的方程.
(2)过椭圆右焦点的直线,交椭圆于两点,交直线于点,判定直线的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.
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【题目】某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响),己知该蔬菜每售出1吨获利500元,未售出的蔬菜低价处理,每吨亏损100 元.现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布,如下表:
以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜,在 甲、乙两市场同时销售,以(单位:吨)表示下个销售周期两市场的需求量,(单位:元)表示下个销售周期两市场的销售总利润.
(Ⅰ)当时,求与的函数解析式,并估计销售利润不少于8900元的槪率;
(Ⅱ)以销售利润的期望为决策依据,判断与应选用哪—个.
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