Question

2．宜昌市“天地杯”首届中小学生汉语言文化知识电视大赛中，我校经过预赛、复赛、决赛的一路打拼，最终荣获全市一等奖的优异成绩．为选拔选手参加“汉语言文化知识电视大赛”，我校举行了一次“预选赛”活动．为了了解本次预选赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“汉语言文化知识电视大赛”，求所抽取的4名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

Answer 1

分析 （1）由样本容量和频数频率的关系能求出样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）由题意分析可知分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G，用列举法求得“从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学”所有的抽法方法数目以及满足条件的抽法数目，由古典概型公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意：由茎叶图可知成绩在[50，60）上的有8人，其频率为0.016×10=0.16，
则样本容量n=$\frac{8}{0.16}$=50，
则y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
则x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．
（2）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，
分数在[90，100）有2人，分别记为F，G．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有21个基本事件；
其中所抽取的4名学生中至少有一人得分在[90，100]内有：（a，F），（a，G），（b，F），（b，G），（c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有9个基本事件；
则所抽取的4名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为P=$\frac{9}{21}$=$\frac{3}{7}$．

点评 本题主要考查等可能事件的概率，频率分布直方图的应用，解题是注意充分利用频率分布直方图分析数据．