Question

17．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，对于下列说法，正确的个数是（　　）
①BC⊥PAC
②AF⊥PBC
③EF⊥PB
④AE⊥PBC．

• A． 4
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在①中，推导出AC⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAC；在②中，推导出BC⊥AF，AF⊥PC，从而AF⊥平面PBC；在③中，推导出PB⊥AF，AE⊥PB，从而得到EF⊥PB；在④中，由AF⊥平面PBC，得到AE与平面PBC不垂直．

解答 解：∵PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，
AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，
在①中，由AB是直径，得AC⊥BC，由PA垂直于⊙O所在的平面，得PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，故①正确；
在②中，由①得BC⊥平面PAC，又AF?平面PAC，
∴BC⊥AF，∵AF⊥PC于点F，BC∩PC=C，
∴AF⊥平面PBC，故②正确；
在③中，由②知AF⊥平面PBC，
又PB?平面PBC，∴PB⊥AF，
∵AE⊥PB于点E，AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF，
∵EF?平面AEF，∴EF⊥PB，故③正确；
在④中，由②知AF⊥平面PBC，
∵AE∩AF=A，∴AE与平面PBC一定不能垂直，故④错误．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．