Question

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是

b2-1

，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是

a2-1

，表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值．

解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，
∴另一条直角边是

b2-1

，
三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是

a2-1

，
∴几何体的体积是V=

1

3

×

1

2

b2-1

×

a2-1

∵在侧面三角形上有a²-1+b²-1=6，
∴V≤

1

3

×

1

2

×

b2-1+a2-1

2

=

1

2

，
当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，
故选D．

点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查基本不等式的应用，本题是一个比较综合的题目，注意创造基本不等式的使用条件，得到结果．