Question

若a∈[1，4]，b∈[0，3]，则方程ax²+2x+b=0有实数解的概率为

2ln2

9

．

Answer 1

分析：在aob坐标系中作出

1≤a≤4 0≤b≤3

表示的平面区域，得到如图所示的矩形ABCD，算出其面积为S=9．利用根的判别式算出当方程ax²+2x+b=0有实数解时b＜

1

a

，由积分公式算出相应的面积为S'=2ln2，根据几何概型公式即可算出原方程有实数解的概率．

解答：解：∵a∈[1，4]，b∈[0，3]，
∴在aob坐标系中，作出

1≤a≤4 0≤b≤3

表示的平面区域，得到如图所示的矩形ABCD．
其中A（1，3），B（4，3），C（4，0），D（1，0），
可得矩形ABCD的面积S=AB•BC=3×3=9．
若方程ax²+2x+b=0有实数解，
则△=4-4ab≥0，可得b＜

1

a

．
对应的图形面积为S'=

∫

4 1

1

a

da=lna

|

4 1

=ln4=2ln2，
由此可得所求概率为P=

S′

S

=

2ln2

9

．
故答案为：

2ln2

9

点评：本题着重考查了一元二次方程根的判别式、积分计算公式和定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．