Question

在数列{a_n}中，如果存在正整数T，使得a_m+T=a_m对任意的非零自然数m都成立，那么称数列{a_n}为周期数列，其中T称为数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N*），如果x₁=

1

2

，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列的前2009项和为

670

．

Answer 1

分析：首先要根据题意中所说的周期数列的定义，针对题目中的数列的周期情况分类讨论，从而将a值确定，进而将数列的前2 009项和确定．

解答：解：若数列的周期为1，则a=

1

2

，此时该数列为：

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0…是以3为周期的数列，不符合题意
若数列的周期为2，则x3=x1=

1

2

，由x3=|a-

1

2

|=

1

2

可得a=1，a=0（舍）
此时该数列的项为：

1

2

，1，

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0，不符合题意
∴数列的最小周期为3，此时a=

1

2

，此时该数列的项为：

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0…
S2009=669(

1

2

+

1

2

+0)+

1

2

+ 

1

2

=670
故答案为：670

点评：此题考查对新概念的理解以及分析问题的能力．解题的关键是确定周期取得最小值时的a的值，以确定数列的各项