Question

20．已知点F（1，0），直线l：x=-1，直线l'垂直 l于点P，线段PF的垂直平分线交l’于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹 C的方程；
（Ⅱ）已知点 H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的定义可知：Q到直线x=-1的距离与到点F的距离相等，点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线方程的抛物线，即可求得点Q的轨迹 C的方程；
（Ⅱ）求得焦点坐标，设直线方程，代入抛物线方程，求得直线直线AH，BH的斜率分别为k₁，k₂，求得M和N的坐标，由韦达定理求得y_M•y_N=4，y_M+y_N=-$\frac{4}{m}$，代入圆的方程，即可求得x和y的值，则以MN为直径的圆必过定点．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知丨QP丨=丨QF丨，即Q到直线x=-1的距离与到点F的距离相等，
∴点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线方程的抛物线，
设抛物线的方程y²=2px（p＞0），则p=2，
∴点Q的轨迹C的方程y²=4x；
（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线AB：x=my+1（m≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
设A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
又H（1，2），设直线AH，BH的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
直线AH：y-2=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$（x-1），BH：y-2=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$（x-1），
设M（-1，y_M），N（-1，y_N），
令x=-1，得：y_M=2-$\frac{8}{{y}_{1}+2}$=$\frac{2（{y}_{1}-2）}{{y}_{1}+2}$，
同理，得：y_N=2-$\frac{8}{{y}_{2}+2}$=$\frac{2（{y}_{2}-2）}{{y}_{2}+2}$，
y_M•y_N=$\frac{2（{y}_{1}-2）}{{y}_{1}+2}$•$\frac{2（{y}_{2}-2）}{{y}_{2}+2}$=$\frac{4[{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$=$\frac{4（-4-2×4m+4）}{-4+2×4m+4}$=-4，
y_M+y_N=（2-$\frac{8}{{y}_{1}+2}$）+（2-$\frac{8}{{y}_{2}+2}$）=4-8（$\frac{1}{{y}_{1}+2}$+$\frac{1}{{y}_{2}+2}$）=
=4-$\frac{8[（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$，
=4-$\frac{8[4m+4]}{-4+2×4m+4}$=-$\frac{4}{m}$，
由MN为直径的圆的方程为（x+1）²+（y-y_M）（y-y_N）=0，
整理得：x²+2x-3+y²+$\frac{4}{m}$y=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{{x}^{2}+2x-3+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：x=-3，x=1，
∴以MN为直径的圆必过定点（-3，0）（1，0）．

点评 本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．