Question

9．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=a（a＞0），直线l的极坐标方程是$ρsin（θ+\frac{π}{3}）$=1，曲线C₂与直线l有二交点A，B．
（1）求C₂与l的普通方程，并求a的取值范围；
（2）设P为C₁上任意一点，当a=2时，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可把直角坐标方程化为极坐标方程．
（2）当a=2时，圆的方程为x²+y²=4．弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．P为C₁上任意一点，曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），则点P到直线l的距离h═$\frac{|5sin（φ+α）-2|}{2}$$≤\frac{7}{2}$，即可得出△PAB面积的最大值S=$\frac{1}{2}{h}_{max}$|AB|．

解答 解：（1）曲线C₂的极坐标方程是ρ=a（a＞0），可得直角坐标方程：x²+y²=a²．
直线l的极坐标方程是$ρsin（θ+\frac{π}{3}）$=1，展开化为：$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=1，可得直角坐标方程：$y+\sqrt{3}x$-2=0．
∵曲线C₂与直线l有二交点A，B．
∴圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=1＜a，
∴a的取值范围是a＞1．
（2）当a=2时，圆的方程为x²+y²=4．
弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$．
∴P为C₁上任意一点，曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
则点P到直线l的距离h=$\frac{|\sqrt{3}×\sqrt{3}cosφ+4sinφ-2|}{2}$=$\frac{|5sin（φ+α）-2|}{2}$$≤\frac{7}{2}$，
∴△PAB面积的最大值S=$\frac{1}{2}{h}_{max}$|AB|=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆的参数方程应用、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．