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    【题目】已知函数．

    （1）判断的奇偶性；

    （2）用单调性的定义证明为上的增函数；

    （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

    【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）．

    【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性定义，作差后注意变形，分析差的正负即可；（3）由（1）（2）知函数是奇函数，在R上递增，转化为，根据单调性可得对任意的恒成立，分类讨论即可求解．

    试题解析：

    （1），∵，

    ∴是奇函数．

    （2）任取， ，且，则

    ，

    ∵，∴，

    ∵，

    ∴，即，∴在上是增函数．

    （3）∵为奇函数且在上为增函数，

    ∴不等式化为，

    ∴对任意的恒成立，

    即对任意的恒成立．　

    ①时，不等式化为恒成立，符合题意；

    ②时，有即．　

    综上， 的取值范围为．

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