Question

（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若

OA

=a，

OB

=b，试用a，b表示向量

OP

，

OQ

．
（2）在（1）中，当点P，Q三等分线段AB中，有

OP

+

OQ

=

OA

+

OB

．如果点A₁，A₂，…A&_n是AB的n（n≥3）等分点，你能得出什么结论？请证明你的结论．
（3）条件同（1）（2），试用试用a，b表示向量

OAk

（1≤k≤n）．

Answer 1

分析：（1）由题意知，

BA

=

a

-

b

，

OP

+

PA

=

OA

，从而得到

OP

=

OA

-

PA

，同理求

OQ

．
（2）先写出结论，在进行证明，数形结合再利用向量加法的法则和几何意义知，

OAk

=

OA

-

AkA

=

a

-

k

n

（

a

-

b

），
化简

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

 的解析式，利用等差数列求和公式得到它的结果．
（3）由（2）的证明过程知，

OAk

=

a

-

k

n

（

a

-

b

）．

解答：解：（1）由题意知，

BA

=

a

-

b

，

OP

+

PA

=

OA

，
∴

OP

=

OA

-

PA

=

a

-

1

3

•（

BA

）=

a

-

1

3

（

a

-

b

 ）=

2

3

•

a

+

1

3

•

b

．

OQ

=

OA

-

2

3

BA

=

a

-

2

3

（

a

-

b

）=

1

3

a

+

2

3

b

．
（2）能得到的结论是：

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

═

n-1

2

a

+

n-1

2

b

．
证明：
∵

OA1

=

OA

-

A1A

=

a

-

1

n

（

a

-

b

）=

n-1

n

a

+

1

n

b

，

OA2

=

OA

-

A2A

=

a

-

2

n

（

a

-

b

）=

n-2

n

a

+

2

n

b

，
…

OAn-1

=

OA

-

An-1A

=

a

-

n-1

n

（

a

-

b

）=

1

n

a

+

n-1

n

b

，
∴

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=（

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

）

a

+（

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

）

b

 
=

n-1

2

a

+

n-1

2

b

．
（3）

OAk

=

OA

-

AkA

=

a

-

k

n

（

a

-

b

）=

n-k

n

a

+

k

n

b

．

点评：本题考查向量加法、减法的运算法则和几何意义，并且运用等差数列求和公式进行计算化简以及进行合情推理．