Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），S_n=（m+1）-ma_n对任意的n∈N^*都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）记数列{a_n}的公比为q，设q=f（m）．若数列{b_n}满足；b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*）．求证：数列是等差数列；
（3）在（2）的条件下，设c_n=b_n•b_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出a₁=1，根据S_n=（m+1）-ma_n对任意的n∈N^*都成立求出S_n=（m+1）-ma_n，S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），两式相减即可得a_n=ma_n-1-ma_n，整理可证得，于是可证得数列a_n是首项为1，公比为的等比数列，
（2）根据b_n=f（b_n-1）得到，整理得，据此可证得数列是等差数列，
（3）求出数列{b_n}的通项公式，然后求出数列{c_n}的表达式，最后利用裂项相消法进行求和最后可得T_n=1-，于是可以证明T_n＜1．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，∵S_n=（m+1）-ma_n，①
∴S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），②
①-②得：a_n=ma_n-1-ma_n（n≥2），
∴（m+1）a_n=ma_n-1．∵a₁≠0，m＜-1，
∴a_n-1≠0，m+1≠0，∴．
∴数列a_n是首项为1，公比为的等比数列．
（2），
∴，∴，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）得，则．，
==．
点评：本题主要考查数列求和和等差、等比数列的关系的确定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差、等比数列的性质，会利用裂相消法求数列的和，本题难度一般．