Question

下列命题中正确的是（　　）

• A．“m=

  1

  2

  ”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互平行”的充分不必要条件
• B．“直线l垂直平面α的无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件
• C．已知

  a

  ，

  b

  ，

  c

  为非零向量，则“

  a

  ?

  b

  =

  a

  ?

  c

  ”是“

  b

  =

  c

  ”的充要条件
• D．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件

Answer 1

分析：对各个选项逐个加以判断：通过求出两条直线的斜率，得到两条直线互相垂直，说明A不正确；根据三垂线定理，结合异面直线所成角的定义，得到B不正确；根据向量数量积的几何意义，得到C不正确；根据三角形中较大的边对较大的角，较大的角也对较大的边，结合正弦定理，可得D正确．

解答：解：对于A，当m=

1

2

时，直线（m+2）x+3my+1=0即

5

2

x+

3

2

y+1=0，斜率为-

5

3

直线（m-2）x+（m+2）y-3=0即-

3

2

x+

5

2

y-3=0，斜率为

3

5

∵-

5

3

•

3

5

=-1
∴两条直线互相垂直，不平行．
因此m=

1

2

不是两条直线平行的充分条件，故A错误；
对于B，当直线l是平面α的一条斜线，且l在α内的射影为l′，
则根据三垂线定理，在α内与l′垂直的直线m必定垂直于l，
直线m在平面α内可以平行移动，可知这样的直线m有无数条，
因此“直线l垂直平面α的无数条直线”不是“直线l垂直于平面α”的充分条件，B错误；
对于C，当非零向量

a

，

b

，

c

满足

b

、

c

向量在向量

a

上的投影相等时，
即有“

a

•

b

=

a

•

c

”成立，不一定有“

b

=

c

”，命题的充分性不成立
所以“

a

•

b

=

a

•

c

”不是“

b

=

c

”的充要条件，故C错误；
对于D，在△ABC中，若“A＞B”成立，则有“a＞b”，
再结合正弦定理有：2RsinA＞2RsinB，可得“sinA＞sinB”成立，其中R是外接圆半径
反之，若“sinA＞sinB”成立，可由正弦定理和大边对大角的结论得到“A＞B”成立
所以在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故D正确．
故选D

点评：本题综合了直角坐标系中直线的平行与垂直、空间直线的位置关系、平面向量的数量积和三角形中三角函数值的大小比较等知识点，考查了充分必要条件的判断，属于中档题．